عدد پی؛ مهم‌ترین و مرموزترین عدد جهان

~XFateMeHX~ · 1/7/21

یکی از اعداد مهم‌ و معروف‌ دنیای ریاضی، عدد پی (π) است. در این مقاله، با تعریف و ویژگی‌های رمزآلود آن آشنا خواهید شد.

احتمالا عدد پی را از کلاس هندسه دوران دبیرستان به خاطر دارید. عدد پی احتمالا هم برای کودکان و هم بزرگ‌سالان به یک اندازه گیج‌کننده است؛ چون بی‌انتها و بدون الگو است. بااین‌حال، این عدد آن‌قدر محبوب است که حتی روز آن را در دنیا جشن می‌گیرند.

اگر پی که ظاهرا خارج از دنیای هندسه کاربردی ندارد، سزاوار تقدیر است؛ چرا برای هیچ عدد دیگری جشن برگزار نمی‌شود؟ دلیلش این است که پی با تمام اعداد دیگر متفاوت است. پی ثابت جهانی است که در اکثر فرایندهای رخ‌داده در دنیا به‌چشم می‌خورد. به‌عبارت‌دیگر، پی عددی بی‌الگو است که در شکل‌گیری الگوها نقش مهمی ایفا می‌کند.

عدد پی بی الگو

درواقع، یکی از دلایل جذابیت و شهرت عدد پی این است که تقریبا به هر جا نگاه می‌کنیم، رد پایی از آن را می‌بینیم. کاربردهای پی گستره بزرگی از سؤالات کاربردی روزمره تا پیچیده‌ترین معماهای جهان را شامل می‌شود. برای آشنایی با ابعاد مرموز و هیجان‌انگیز عدد پی با این مقاله همراه شوید.

~XFateMeHX~ · 1/7/21

عددی پی چیست؟

عدد پی که نماد آن شانزدهمین حرف یونانی، π است و در انگلیسی به‌صورت پای (Pi) تلفظ می‌شود، در دنیای محاسبات هندسی،‌ نسبت محیط هر دایره به قطر آن است.

π = قطر/محیط دایره

نکته جالب اینکه مهم نیست اندازه دایره چقدر باشد؛ چراکه این نسبت همیشه ثابت و برابر با عدد پی خواهد بود.

با عدد پی احتمالا به شکل اعشاری ۳٫۱۴ آشنا هستید؛ اما این رقم تقریبی است؛ چون پی، عدد «گنگ»‌ است. این یعنی ارقام اعشاری آن نه به‌پایان می‌رسد (مثل ۱٫۴که می‌شود ۰٫۲۵) و نه تکراری است (مثل ۱٫۶ که می‌شود …۰٫۱۶۶۶۶۶). عدد پی تا ۱۸ رقم اعشار برابر است با:‌ ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸. همان‌طور‌که می‌بینید، در این زنجیره ۱۸ تایی، هیچ رقمی پشت‌سر‌هم تکرار نشده است و هیچ الگوی ثابتی در آن دیده نمی‌شود.

ازاین‌رو، لازم بود برای نشان‌دادن نسبت محیط به قطر مقدار مختصر و تقریبی نظیر ۳٫۱۴ یا نزدیک‌ترین شکل کسری آن یعنی ۲۲/۷ در نظر گرفته شود. سال ۱۷۰۶، ویلیام جونز اولین‌بار حرف یونانی π را از کلمه «محیط» در زبان یونانی (περιφέρεια) به‌عنوان نماد عدد پی گرفت؛ اما حدود سی سال طول کشید تا به‌عنوان ثابت استانداردی در ریاضی استفاده شود.

برای درک بهتر عدد پی، بیایید آزمایش ساده انجام دهیم. روی کاغذ با پرگار دایره‌ای بکشید و تکه‌ای نخ بردارید و آن را یک بار دورتادور دایره قرار دهید. حالا نخ را صاف کنید. محیط دایره برابر با طول نخ است. آن را با خط‌کش اندازه بگیرید و عدد آن را یادداشت کنید. بعد با قرار‌دادن خط‌کش از هر نقطه‌ای از دایره تا نقطه دیگر به‌طوری‌که مرکز آن را قطع کند، قطر دایره را اندازه بگیرید. حالا اگر محیط دایره را بر قطر تقسیم کنید، تقریبا عدد ۳٫۱۴ به‌دست می‌آید.

~XFateMeHX~ · 1/7/21

این آزمایش را با دایره‌هایی با اندازه‌های مختلف تکرار کنید. هر بار خواهید دید از تقسیم محیط دایره بر قطر همواره عدد تقریبی ۳٫۱۴ به‌دست خواهد داد. به‌عبارت‌دیگر، اگر چند تکه نخ برابر با طول قطر دایره داشته باشید، برای پوشاندن دور دایره به کمی بیشتر از سه تکه نخ نیاز خواهید داشت. این عدد پی است؛ نسبت ثابت محیط دایره بر قطر که ارقام اعشار آن تا بی‌نهایت ادامه دارد و هیچ‌گاه دو عدد تکراری پشت‌سرهم قرار نمی‌گیرند.

اثبات گنگ‌بودن پی

یکی از شگفتی‌های عدد پی، گنگ‌بودن آن است؛ اما همان‌طورکه هنوزهم برخی افراد فکر می‌کنند زمین تـ*ـخت است، برخی نیز به گنگ‌بودن عدد پی شک دارند. احتمالا مفاهیم اعداد گنگ و گویا را از ریاضی دوران مدرسه به‌خاطر می‌آورید. اعدادی مثل ۳، ۰٫۵، ۰٫۳۳۳ یا ۱۰-، ۱/۲- یا ۱/۷ گویا هستند؛ چون تمام این اعداد را می‌توان به‌صورت کسری از اعداد صحیح (a/b) نوشت. ویژگی اعداد گویا این است که اعشار آن‌ها جایی به‌پایان می‌رسد (مثل ۲ٰ٫۲ یا ۱٫۴۱) یا بالاخره از جایی به بعد تکرار می‌شوند (مثل ۱/۳ که می‌شود ۰٫۳۳۳۳). درمقابل، اعداد گنگ را نمی‌توان به‌صورت کسری از اعداد صحیح نوشت. مثال‌های معروف اعداد گنگ رادیکال ۲ و عدد اویلر (e = ۲٫۷۱۸۲۸) و البته همین عدد پی است.

~XFateMeHX~ · 1/7/21

اگرچه معمولا کسی به گنگ‌بودن رادیکال ۲ شک نمی‌کند و تقریبا همه آن را به‌عنوان واقعیتی در دنیای ریاضی پذیرفته‌اند، درباره گنگ‌بودن عدد پی سؤالات زیادی مطرح می‌شود. آیا واقعا هیچ پایانی برای پی نیست؟ آیا عدد پی چنان تا بی‌نهایت ادامه دارد و تکراری نمی‌شود که می‌توان هر زنجیره عددی مثلا شماره‌تلفن خود را جایی در آن پیدا کرد؟ برای اثبات گنگ‌بودن عدد پی چندین معادله مطرح شده است که شاید ساده‌ترین آن‌ها اثبات نیون (Niven) باشد که فرض می‌کند پی عددی گویا است؛ اما در آخر به تناقض می‌رسد. روش نیون برای اثبات گنگ‌بودن عدد پی بر چهار مرحله زیر استوار است:‌

۱. فرض کنید پی عددی گویا است؛ یعنی π = a/b

۲. تابع f(x) را به شکل زیر تعریف کنید:

۳. بعد از کلی مرحله، ثابت کنید درصورت گویابودن عدد پی، انتگرال f(x) sin(x) از مقادیر ۰ تا پی، حتما عدد صحیح است.

۴. هم‌زمان نشان دهید انتگرال f(x) sin(x) از مقادیر ۰ تا پی، مثبت خواهد بود؛ اما هرچه مقادیر n بزرگ‌تر می‌شود، این مقدار به صفر متمایل می‌شود. تناقضی که به آن می‌رسید، این است:‌ اگر جواب انتگرال عدد صحیح باشد، نمی‌تواند هم‌زمان برابر با مقداری بین صفر و یک باشد.

با این اوصاف، اثبات می‌شود فرض اولیه اشتباه و پی عدد گنگ است. درواقع، اگر پی گویا باشد، مرحله چهارم می‌گوید جواب انتگرال می‌تواند بین صفر و یک باشد؛ اما مرحله سوم می‌گوید جواب همیشه باید عدد صحیح باشد. وجود این تناقض ثابت می‌کند پی نمی‌تواند گویا باشد.

~XFateMeHX~ · 1/7/21

تاریخچه عدد پی

دانشمندان و ریاضی‌دانان حداقل چهارهزار سال است که متوجه اهمیت عدد پی شده‌اند. در کتاب تاریخ پی اثر پتر بکمان آمده است: «دوهزار سال قبل از میلاد بابلی‌ها و مصری‌ها از وجود و اهمیت ثابت π باخبر بودند و می‌دانستند نسبت محیط هر دایره به قطر آن یکسان است.» هم بابلی‌ها و هم مصری‌ها برای این ثابت، مقداری تقریبی در نظر گرفته بودند که بعدها ارشمیدس در یونان باستان آن را بهبود داد. در قرن نهم میلادی، محمد خوارزمی، ریاضی‌دان شهیر ایرانی، عدد پی را تا چهار رقم اعشار دقیق محاسبه کرد. در قرن پانزدهم میلادی نیز، غیاث‌الدین جمشید کاشانی، ریاضی‌دان شهیر ایرانی، توانست مقدار ۲π را تا شانزده رقم اعشار محاسبه کند؛ به‌طوری‌که تا ۱۵۰سال بعد، کسی نتوانست آن را بیش از این بسط دهد.

در قرون بعدی، ریاضی‌دانان چینی و هندی و عرب به‌جای بهبود روش ارشمیدس، تعداد ارقام اعشاری پی را با انجام محاسبات سخت و طاقت‌فرسا افزایش دادند. در پایان قرن هفدهم، روش‌های محاسبات ریاضی در اروپا بهبود یافت و فرمول بهتری برای محاسبه سری بی‌نهایت عدد پی معرفی شد. به‌عنوان مثال، اسحاق نیوتن از قضیه بسط دوجمله‌ای خود برای محاسبه سریع ۱۶ رقم اعشار پی استفاده کرد. در اوایل قرن بیستم، سرینیواسا رامانوجان، ریاضی‌دان هندی، روش‌های فوق‌العاده کارآمدی برای محاسبه پی ابداع کرد که بعدا در الگوریتم‌های کامپیوتری به‌کار رفتند.

~XFateMeHX~ · 1/7/21

اولین کسی که فهمید نسبت محیط دایره به قطر عددی گنگ است، یوهان لمبرت، ریاضی‌دان سوئیسی بود که سال ۱۷۶۸ نشان داد محاسبه مقدار دقیق پی غیرممکن است؛ چون اعشار این عدد تا بی‌نهایت ادامه دارد.

افزون‌براین، اولین کسی که تصمیم گرفت برای این عدد گنگ نماد π را انتخاب کند، ویلیام جونز، ریاضی‌دان اهل پادشاهی انگلستان بود که π را از کلمه یونانی به‌معنی «محیط» انتخاب و آن را در کتابش معرفی کرد. بااین‌حال، سی سال طول کشید تا استفاده از π به‌عنوان ثابت پی متداول شود. درواقع، کسی که باعث شهرت نماد π شد، لئونارد ایولر، ریاضی‌دان سوئیسی بود که در دهه ۱۷۳۰ از این نماد در مقالاتش در قضیه مثلثات استفاده کرد.

با شروع قرن بیستم، حدود ۵۰۰ رقم پی محاسبه شده بود. با پیشرفت تکنولوژی و به‌لطف محاسبات کامپیوتری، اکنون ما تا دَه‌ها ریلیون رقم اول پی را می‌دانیم. در سال ۲۰۱۹، اِما هاروکا، مشاور توسعه فضای ابری در گوگل، موفق شد با استفاده از ۱۷۰ ترابایت داده و برنامه چندرشته‌ای موسوم به y-cruncher، دقیق‌ترین مقدار عدد پی در جهان را محاسبه کند که شامل ۳۱٫۴ تریلیون رقم اعشار می‌شد. محاسبه این ارقام ۱۲۱ روز طول کشید. ناگفته نماند سال ۲۰۲۰ رکورد محاسبه بیشترین ارقام پی به ۵۰ تریلیون رسید.

~XFateMeHX~ · 1/7/21

عدد پی کامل

همان‌طورکه گفته شد، پی عدد گنگ است؛ یعنی نمی‌توان آن را به‌صورت کسری ساده با اعداد صحیح بیان کرد. دلیلش هم این است که پی طبق توصیف ریاضی‌دانان «اعشار بی‌نهایت» است؛ یعنی ارقام بعد از ممیز تا ابد ادامه خواهند یافت و به هیچ رقمی ختم نمی‌شوند.

اگرچه برای پی مقدار دقیقی وجود ندارد و برای اکثر محاسبات تا حدود سی رقم اعشار کافی است، بسیاری از ریاضی‌دانان و ریاضی‌دوستان همچنان مشتاق هستند تا عدد پی را تا بیشترین رقم ممکن محاسبه کنند. یکی از دلایل این اشتیاق ثبت رکورد و مشهور‌شدن است. دانشمندان هم با بسط سری اعشار پی، از آن برای آزمودن اَبَرکامپیوترها و الگوریتم‌های تجزیه‌وتحلیل اعداد استفاده می‌کنند.

رکورد جهانی گینس برای خواندن بیشترین ارقام پی به‌صورت ذهنی درحال‌حاضر متعلق به راجویر مینا هندی است که سال ۲۰۱۵، با چشمان بسته موفق شد تا ۷۰ هزار رقم اعشار پی را از حفظ بخواند. برخی برنامه‌نویسان کامپیوتر هم توانسته‌اند به‌کمک الگوریتم‌های خاصی تا ۵۰ تریلیون رقم اعشار پی را محاسبه کنند. عدد پی تا ۱۰۰ رقم اعشار بدین‌صورت محاسبه شده است:‌

۳٫۱۴۱۵۹ ۲۶۵۳۵ ۸۹۷۹۳ ۲۳۸۴۶ ۲۶۴۳۳ ۸۳۲۷۹ ۵۰۲۸۸ ۴۱۹۷۱ ۶۹۳۹۹ ۳۷۵۱۰ ۵۸۲۰۹ ۷۴۹۴۴ ۵۹۲۳۰ ۷۸۱۶۴ ۰۶۲۸۶ ۲۰۸۹۹ ۸۶۲۸۰ ۳۴۸۲۵ ۳۴۲۱۱ ۷۰۶۷

دیدن عدد کامل پی ممکن نیست؛ چون این عدد تا بی‌نهایت ادامه دارددارد.

~XFateMeHX~ · 1/7/21

کاربرد عدد پی در طبیعت

کاربرد عدد پی را می‌توان در طبیعت به‌وفور پیدا کرد. درواقع، هرجایی در طبیعت که شکل دایره وجود دارد، مثل قرص خورشید و ماه، مارپیچ دوگانه DNA، مردمک چشم و حلقه‌های متحدالمرکزی که از افتادن جسمی درون آب ایجاد می‌شوند، عدد پی آنجا حضور دارد و در محاسبات به‌کار می‌رود.

عدد پی در فیزیک مربوط به توصیف امواج، ازجمله نور و صدا نیز به‌کار می‌رود. حتی در معادله‌ای که وضعیت دقیق جهان را بررسی می‌کند، یعنی اصل عدم قطعیت هایزنبرگ که می‌گوید نمی‌توان همه‌ کمیت‌های یک الکترون را هم‌زمان اندازه‌گیری کرد، می‌توانید رد عدد پی را بیابید.

پی در شکل رودخانه‌ها هم ظاهر می‌شود. رودخانه‌هایی که از سرچشمه تا دهانه مسیر مستقیمی را طی می‌کنند، نسبت مئاندری یا پیچان کوچکی دارند؛ درحالی‌که رودخانه‌هایی که در طول مسیر به‌طور مارپیچ حرکت می‌کنند، نسبت مئاندری بیشتری دارند. میانگین نسبت مئاندری رودخانه‌ها تقریبا برابر با عدد پی است و این نکته جالب را اولین‌بار آلبرت انیشتین با استفاده از دینامیک سیالات و نظریه آشوب توضیح داد.

ثابت π به پیدایش روش جدیدی برای اندازه‌گیری زاویه (رادیان) نیز انجامید که به درک بهتر ما از جهان کمک بسیاری کرد. شاید عدد پی در کارهای روزمره ما به‌کار نرود؛ اما در اکثر محاسبات مربوط به ساخت‌و‌ساز، فیزیک کوانتومی، ارتباطات، نظریه موسیقی، جراحی پزشکی، سفرهای هوایی و فضایی کاربرد دارد. درواقع، ناسا به‌طور مرتب از عدد پی برای محاسبه مسیر فضاپیماها استفاده می‌کند. کاربردهای دیگر عدد پی در ناسا شامل تعیین اندازه دهانه‌های برخوردی و سیاره‌های خارج از منظومه شمسی، تعیین میزان پیشرانه برای فضاپیماها و مواد سازنده سیارک‌ها می‌شود.

~XFateMeHX~ · 1/7/21

عدد پی در دنیای تکنولوژی هم کاربردهای زیادی دارد. بسیاری از نرم‌افزارهای تشخیص صدا برای گرفتن «اثرانگشت» از طیف قدرت صدا و تشخیص کلمات کاربر،‌ بر تبدیل فوریه (Fourier transform) متکی هستند که از عدد π استفاده می‌کند. گوشی موبایل برای برقراری ارتباط با برج مخابرات و حتی گوش انسان برای تشخیص صدای افراد از تبدیل فوریه استفاده می‌کند که درواقع، توابع زمان یا فضا را به توابعی برحسب فرکانس زمانی یا فضایی تبدیل می‌کند.

علاوه‌بر‌این، وقتی سراغ رادیو می‌رویم و برای گوش‌دادن به موج خاصی پارامترهای مدار الکتریکی را طوری تنظیم می‌کنیم تا با فرکانس سیگنال پخش همگام شود، بازهم با عدد پی سروکار داریم. عدد پی کاربردهای بسیاری در علوم نوین دارد و روزانه در میلیاردها محاسبه ازجمله شبیه‌سازی آب‌وهوا در اَبَرکامپیوترهای عظیم به‌کار برده می‌شود. بدون شک، با پیشرفت تکنولوژی استفاده از عدد پی در آینده بیشتر خواهد شد.

روز جهانی عدد پی

در وصف اهمیت عدد پی همین بس که روزی برای بزرگ‌داشت آن در تقویم ثبت شده است. آمریکا ۱۴ مارس (۲۴ اسفند) را روز جهانی عدد پی انتخاب کرده و دلیل نام‌گذاری این روز آن است که در آمریکا فرمت نوشتن تاریخ به‌ترتیب ماه و روز و سال است و ۱۴ مارس به‌صورت ۳٫۱۴ یعنی همان عدد پی نوشته می‌شود. نکته جالب اینکه آلبرت انیشتین روز پی به‌دنیا آمد و استیون هاوکینگ، فیزیک‌دان نظری، هم ۱۴ مارس ۲۰۱۸ درگذشت.

~XFateMeHX~ · 1/7/21

روز پی فرصتی است تا علاوه‌بر اندیشیدن به آثار و تلاش‌های ریاضی‌دان تاریخ برای محاسبه هرچه دقیق‌تر این عدد، فعالیت‌های سرگرم‌کننده‌ای مثل پختن و خوردن کیک پای، حفظ‌کردن ارقام پی و تماشای فیلم‌هایی با موضوع عدد پی یا ریاضی (مثل فیلم «ذهن زیبا»، «پی‌» یا «نظریه همه‌چیز») انجام دهیم. تفریح دیگری که در این روز می‌توان انجام داد، نوشتن «پای-کو» است که درواقع نسخه ریاضی شعر سنتی هایکو است. درحالی‌که هایکو شعر ژاپنی سه‌بیتی با الگوی هجایی ۵-۷-۵ است، شعر «پای-کو» از الگوی هجایی ۴-۱-۳ پیروی می‌کند.

تاریخ‌های دیگری که برای بزرگ‌داشت عدد پی در نظر گرفته شده، ۲۲ جولای (۲۲/۷) رقم تقریبی پی و ۲۸ ژوئن (۲۸/۶) عدد تقریبی 2π معادل با ۳۶۰ درجه است.

معجزات عدد پی

ویژگی‌های عدد پی گاهی آن‌قدر شگفت‌انگیز است که برخی افراد از آن‌ها به‌عنوان «معجرات» عدد پی یاد می‌کنند. درادامه، به بعضی از این ویژگی‌ها اشاره می‌کنیم.

عدد پی تا بی‌نهایت ادامه دارد

پی عدد گنگ است و نمی‌توان آن را به‌شکل کسری از اعداد صحیح نوشت؛ به‌همین‌دلیل، اعشار این عدد نه الگوی تکراری دارد و نه بعد از رقمی تمام می‌شود. درواقع، رقم‌های بعد از ممیز عدد پی تا بی‌نهایت ادامه دارند. درحال‌حاضر، تا ۵۰ تریلیون رقم پی محاسبه شده؛ اما این پایان داستان نیست و هنوز افراد زیادی به‌کمک کامپیوترهای قدرتمند می‌کوشند این رکورد را بشکنند.

خوش آمدید به رمان ۹۸ | بهترین انجمن رمان نویسی

ما را در شبکه‌های اجتماعی دنبال کنید

کاربر برتر

کاربر برتر

کاربر برتر

کاربر برتر

کاربر برتر

کاربر برتر

کاربر برتر

کاربر برتر

کاربر برتر

کاربر برتر

ما را در شبکه‌های اجتماعی دنبال کنید

درباره ما

لینک‌های پیشنهادی رمان ۹۸

آمار آنلاین